Logo Kurs EpsilonKurs Epsilon
Przejdź do kursu
LogowanieZacznij za darmo
← Arkusz

Zadanie 21

←20/22→
Zadanie 21planimetria
3 pkt
Dany jest trapez równoramienny ABCDABCD o podstawach ABAB i CDCD, w którym ∣AB∣=2⋅∣CD∣|AB|=2 \cdot |CD|. Przekątna ACAC tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta DABDAB. Wykaż, że w tym trapezie miara kąta DABDAB jest równa 60∘60^{\circ}.
Rozwiązanie
1

Zaznaczamy własności kątowe i przekątną

Niech połowa badanego kąta DABDAB wynosi α\alpha. Ponieważ ACAC to dwusieczna, ∠DAC=∠CAB=α\angle DAC = \angle CAB = \alpha. Naprzemianległe kąty spełniają ∠DCA=α\angle DCA = \alpha.
∣∠DAC∣=∣∠DCA∣=α|\angle DAC| = |\angle DCA| = \alpha
2

Dostrzegamy trójkąt równoramienny

Zbieżność kątów dowodzi, że trójkąt ACDACD jest równoramienny, a więc ∣AD∣=∣CD∣=a|AD| = |CD| = a.
∣AD∣=∣CD∣=a|AD| = |CD| = a
3

Obliczamy podstawę odciętego trójkąta prostokątnego

Po poprowadzeniu wysokości z CC i DD na podstawę 2a2a, ocinamy równe odcinki z boków, wynikające z równoramienności trapezu.
2a−a2=12a\frac{2a - a}{2} = \frac{1}{2}a
4

Wyznaczamy szukany kąt

Obliczamy cosinus kąta DABDAB w powstałym trójkącie prostokątnym.
cos⁡∠DAB=12aa=12⇒∠DAB=60∘\cos{\angle DAB} = \frac{\frac{1}{2}a}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle DAB = 60^{\circ}
Odpowiedź: ∠DAB = 60°
Nauka
0
PostępyProfil