Logo Kurs EpsilonKurs Epsilon
Przejdź do kursu
LogowanieZacznij za darmo
← Arkusz

Zadanie 17

← 1619/22→
Zadanie 17trygonometria
2 pkt
Kąt o mierze α\alpha jest rozwarty oraz sin⁡α=13\displaystyle \sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}. Oblicz wartość wyrażenia 3sin⁡αtg⁡α\displaystyle \frac{3\sin{\alpha}}{\operatorname{tg}{\alpha}}. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie
1

Przekształcamy szukane wyrażenie

Zamieniamy tangens na iloraz sinusa i cosinusa, żeby skrócić wyrażenie.
3sin⁡αsin⁡αcos⁡α=3cos⁡α\frac{3\sin{\alpha}}{\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}} = 3\cos{\alpha}
2

Wyznaczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej

Korzystamy ze wzoru jedynkowego mając już podany sinus.
cos⁡2α=1−(13)2=23\cos^2{\alpha} = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{2}{3}
3

Wybieramy odpowiedni znak cosinusa

Dla kątów rozwartych cosinus jest zawsze ujemny.
cos⁡α=−23\cos{\alpha} = -\sqrt{\frac{2}{3}}
4

Obliczamy końcową wartość

Podstawiamy obliczonego cosinusa i upraszczamy.
3⋅(−23)=−3⋅63=−63 \cdot \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = -3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = -\sqrt{6}
Odpowiedź: −√6
Nauka
0
PostępyProfil