Matura próbna podstawowa z matematyki — marzec 2026

Liczby $x$ oraz $y$ są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby $x$ przez liczbę $y$ otrzymano iloraz $20$ i resztę $26$. Liczba $\displaystyle \frac{x}{y}$ jest równa:

Liczba $\displaystyle \frac{\sqrt[3]{50} \cdot \sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}$ jest równa:

Liczba $\displaystyle \frac{3^{10} \cdot 9^{20}}{27^{15}}$ jest równa:

Liczba $\log_{8}{\sqrt[5]{2}}$ jest równa:

Wykaż, że liczba $2501^4 - 2499^4$ jest podzielna przez $10000$.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-10$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\displaystyle \frac{x^2+20x+100}{x^3} \cdot \frac{x^2}{x+10}$ jest równa wartości wyrażenia:

Równanie $2x(x^2-3)(x^2+2x+3)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

Rozwiąż nierówność $(x-3)(x+5)>9$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}20x+20y=1\\ 26x-26y=1\end{cases}$ jest para liczb: $x=x_0,\, y=y_0$. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

1. Suma $x_0+y_0$ jest liczbą dodatnią.

2. Iloczyn $x_0 \cdot y_0$ jest liczbą dodatnią.

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(k+2)x+(k-3)$, gdzie $k$ jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

1. Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału $(-\infty, 2)$.

2. W układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres przechodzi przez punkt $(0{,}1)$ dla $k=4$.

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = x+5$ dla $x \in [-4,-2)$, $f(x) = x+3$ dla $x \in [-2{,}1]$, $f(x) = -2x+5$ dla $x \in (1{,}3]$.

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=-16x^2+40x+11$. Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $C$. Ta parabola przecina oś $Ox$ w punktach $A$ oraz $B$. Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Wielkości $x$ oraz $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Dla $x=18$ mamy $y=9$. Dla $x=24$ mamy $y=a$. Liczba $a$ jest równa:

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $\displaystyle a_n=\frac{3n+9}{n+1}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Wyznacz wszystkie wartości $x$, dla których trójwyrazowy ciąg $(a_5,\, 2x^2,\, 3x^2+5)$ jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1=5$, $a_{n+1}=a_n+2$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa:

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_6=25 \cdot a_8$. Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy:

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\displaystyle \sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Oblicz wartość wyrażenia $\displaystyle \frac{3\sin{\alpha}}{\operatorname{tg}{\alpha}}$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|=2 \cdot |CD|$. Przekątna $AC$ tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta $DAB$. Wykaż, że w tym trapezie miara kąta $DAB$ jest równa $60^{\circ}$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A=(-3{,}0)$ oraz $C=(5{,}6)$ są końcami przekątnej kwadratu $ABCD$. Kwadrat $A'B'C'D'$ jest obrazem kwadratu $ABCD$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$. Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie $A'B'C'D'$. Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $12$. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $30^{\circ}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.