Zadanie 14

Zadanie 14ciagi

3 pkt

Ciąg

(a_n)

jest określony wzorem

\displaystyle a_n=\frac{3n+9}{n+1}

dla każdej liczby naturalnej

n \ge 1

. Wyznacz wszystkie wartości

x

, dla których trójwyrazowy ciąg

(a_5,\, 2x^2,\, 3x^2+5)

jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Wyliczamy wartość

a_5

z danego wzoru.

a_5 = \frac{3 \cdot 5 + 9}{5 + 1} = \frac{24}{6} = 4

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych.

2x^2 - 4 = (3x^2 + 5) - 2x^2

Upraszczamy obie strony.

2x^2 - 4 = x^2 + 5 \Rightarrow x^2 = 9

x = 3 \lor x = -3

Odpowiedź: x = 3 lub x = −3