Zadanie 21 - Matura podstawowa z matematyki — maj 2026

2021/3322

Zadanie 21planimetria

2 pkt

Dany jest trójkąt

KLM

, w którym

|KM| = a

oraz

|LM| = b

. Dwusieczna kąta

LMK

przecina bok

KL

w punkcie

N

. Wykaż, że stosunek pola trójkąta

KNM

do pola trójkąta

NLM

jest równy

\displaystyle \frac{a}{b}

Odpowiedź: Dowód matematyczny

Rozwiązanie

Zapisujemy stosunek pól trójkątów

Trójkąty

KNM

NLM

mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka

M

na prostą

KL

. Zatem stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw:

\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{|KN|}{|NL|}

Korzystamy z twierdzenia o dwusiecznej kąta

Zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, dwusieczna dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków:

\frac{|KN|}{|NL|} = \frac{|KM|}{|LM|} = \frac{a}{b}

Wnioskujemy

Łącząc oba fakty, otrzymujemy tezę:

\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{a}{b}