Matura podstawowa z matematyki — maj 2026

Liczba $\displaystyle \sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1}$ jest równa

Klient wpłacił do banku $10\,000 \text{ zł}$ na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Liczba $\sqrt{5\sqrt{5}}$ jest równa

Liczba $\log_8 4 - \log_8 32$ jest równa

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P — prawda, F — fałsz):
1. Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$.
2. Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ ma w zapisie dziesiętnym $25$ cyfr.

Wartość wyrażenia $x^2 + 10x + 25$ dla $x = \sqrt{2} - 5$ jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$.

Dane jest równanie $3(x + 3)(x - m)(2x + 4) = 0$ gdzie $x$ jest niewiadomą, natomiast $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $0$. Liczba $m$ jest równa

Rozwiązaniem równania jest liczba

Rozwiąż nierówność

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika: bilet normalny $35 \text{ zł}$, bilet ulgowy $25 \text{ zł}$. Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25\%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4\,665 \text{ zł}$. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f(x) = x + 2$ dla $x \in [-4, 2]$ oraz $f(x) = -x + 5$ dla $x \in (2, 5)$. Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono na rysunku poniżej.

Funkcja liniowa $f$ jest dana wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ — punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite, a wykres jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem o mierze $\alpha$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (3, -2)$. Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x + 1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. W tym ciągu $a_1 = 1$ oraz $a_5 = 17$. Dziewiąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3 \cdot a_6 = 18$. Iloczyn $a_2 \cdot a_7$ jest równy ...

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC| = 2$ i $|AC| = 2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$. Sinus kąta $\gamma$ jest równy

Punkty $A, B, C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$. Kąt wpisany $CDA$ ma miarę $50^\circ$, a kąt środkowy $COB$ ma miarę $30^\circ$. Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k, l, m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$. Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|OA| = 12$, $|OB| = 6$ oraz $|OC| = 8$. Odcinek $OD$ ma długość

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$. Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\displaystyle \frac{a}{b}$.

W okrąg $O$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $T$. Bok trójkąta $T$ ma długość ...

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek Tangens kąta $\alpha$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, -3)$, $B = (2, 1)$ oraz $C = (0, 2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (1, -3)$ i promieniu $5$. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P — prawda, F — fałsz):
1. Punkt $A = (4, -7)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$.
2. Okrąg $\mathcal{O}$ jest opisany równaniem $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $\displaystyle y = -\frac{1}{3}x + 2$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2, -2)$. Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ (np.: $321, 555$), jest

Dane są dwa zbiory cyfr: $X = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ oraz $Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}$. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru $Y$. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez $6$.

W dwóch klasach przeprowadzono ten sam sprawdzian ze statystyki. Poniżej zestawiono, ilu uczniów otrzymało poszczególne oceny:
— klasa IV A: ocena 1 — $1$ uczeń, 2 — $6$, 3 — $3$, 4 — $3$, 5 — $6$, 6 — $1$;
— klasa IV B: ocena 1 — $1$ uczeń, 2 — $3$, 3 — $6$, 4 — $6$, 5 — $3$, 6 — $1$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P — prawda, F — fałsz):
1. Średnia arytmetyczna ocen ze sprawdzianu w klasie IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen w klasie IV B.
2. Mediana ocen ze sprawdzianu w klasie IV A jest równa medianie ocen w klasie IV B.

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a, b, c$, jest równa $2$. Średnia arytmetyczna czterech liczb: $d, e, f, g$, jest równa $5{,}5$. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $a, b, c, d, e, f, g$, jest równa

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem $h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t$.