Zadanie 14 - Matura podstawowa z matematyki — maj 2026

Zadanie 14funkcja kwadratowa

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (3, -2)

. Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g(x) = f(x + 1)

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

g

jest liczba

0

. Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci ogólnej.

Odpowiedź: f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}

Rozwiązanie

Znamy współrzędne wierzchołka

W = (3, -2)

, więc:

f(x) = a(x - 3)^2 - 2

Funkcja

g

powstaje przez przesunięcie funkcji

f

g(x) = f(x + 1) = a(x + 1 - 3)^2 - 2 = a(x - 2)^2 - 2

Wiemy, że

g(0) = 0

a(0 - 2)^2 - 2 = 0 \implies 4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}

Podstawiamy

a

do postaci kanonicznej i rozwijamy wzór skróconego mnożenia:

f(x) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} - 2 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}