Zadanie 18 - Matura podstawowa z matematyki — maj 2026

Zadanie 18trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny

ABC

, w którym bok

AC

jest przeciwprostokątną oraz

|BC| = 2

|AC| = 2\sqrt{10}

. Oznaczmy kąt

BCA

przez

\gamma

. Sinus kąta

\gamma

jest równy

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}

\displaystyle \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}

✓

\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}

Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2

|AB|^2 + 2^2 = (2\sqrt{10})^2

|AB|^2 + 4 = 40 \implies |AB|^2 = 36 \implies |AB| = 6

Sinus kąta to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przeciwprostokątnej:

\sin \gamma = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}