Logo Kurs EpsilonKurs Epsilon
Przejdź do kursu
LogowanieZacznij za darmo
KursMaturaPowtórkiO nasKontakt
Przejdź do kursu
LogowanieZacznij za darmo
Arkusz

Zadanie 24 - Matura podstawowa z matematyki — maj 2026

2324/3325
Zadanie 24geometria analityczna
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkty A=(0,−3)A = (0, -3), B=(2,1)B = (2, 1) oraz C=(0,2)C = (0, 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Zadanie 24.1
Pole trójkąta ABCABC jest równe
A33
B55✓
C66
D1010
Rozwiązanie
1

Analizujemy położenie punktów

Punkty AA i CC leżą na osi OyOy (mają współrzędną x=0x = 0). Długość boku ACAC to różnica ich współrzędnych yy:
∣AC∣=2−(−3)=5|AC| = 2 - (-3) = 5
2

Obliczamy wysokość trójkąta

Wysokość opuszczona z wierzchołka BB na bok ACAC (leżący na osi OyOy) jest równa odległości punktu BB od osi OyOy, czyli jego współrzędnej xx:
h=2h = 2
3

Obliczamy pole

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:
P=12⋅∣AC∣⋅h=12⋅5⋅2=5P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5
Zadanie 24.2
Środek okręgu opisanego na trójkącie ABCABC ma współrzędne
A(23,0)\displaystyle \left(\frac{2}{3}, 0\right)
B(−12,0)\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 0\right)
C(0,−23)\displaystyle \left(0, -\frac{2}{3}\right)
D(0,−12)\displaystyle \left(0, -\frac{1}{2}\right)✓
Rozwiązanie
1

Sprawdzamy, który kąt jest prosty

Obliczamy kwadraty długości boków:
∣AC∣2=52=25|AC|^2 = 5^2 = 25
∣AB∣2=(2−0)2+(1−(−3))2=4+16=20|AB|^2 = (2 - 0)^2 + (1 - (-3))^2 = 4 + 16 = 20
∣BC∣2=(0−2)2+(2−1)2=4+1=5|BC|^2 = (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = 4 + 1 = 5
Ponieważ ∣AB∣2+∣BC∣2=∣AC∣2|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2, kąt prosty znajduje się przy wierzchołku BB, a przeciwprostokątną jest bok ACAC.
2

Wyznaczamy środek okręgu

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej. Obliczamy współrzędne środka odcinka ACAC:
S=(0+02,−3+22)=(0,−12)S = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{-3 + 2}{2}\right) = \left(0, -\frac{1}{2}\right)
Nauka
0
PostępyProfil