Zadanie 27 - Matura podstawowa z matematyki — maj 2026

Zadanie 27stereometria

2 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość

8\sqrt{3}

. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

30^\circ

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź: 128

Rozwiązanie

Podstawą jest kwadrat o przekątnej

d = 8\sqrt{3}

. Pole kwadratu można obliczyć ze wzoru z przekątną:

P_p = \frac{d^2}{2} = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{64 \cdot 3}{2} = 96

Wysokość ostrosłupa

H

, połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny z kątem

30^\circ

. Korzystamy z tangensa:

\tan 30^\circ = \frac{H}{\frac{d}{2}}

\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{H}{4\sqrt{3}} \implies H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4

Podstawiamy dane do wzoru na objętość ostrosłupa:

V = \frac{1}{3} P_p H = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 = 32 \cdot 4 = 128